Üstel Dağılım nedir?
Üstel dağılım, bir kişinin belirli bir olay gerçekleşmeden önce beklemesi gereken süreyi modellemek için kullanılan sürekli ve sabit olasılık dağılımını ifade eder ve bu dağılım, bunun yerine farklı olan bir geometrik dağılımın sürekli bir karşılığıdır.
Üstel Dağılım Formülü
Sürekli bir rasgele değişken x'in (ölçek parametresi λ> 0 olan), ancak olasılık yoğunluk fonksiyonu, ölçek parametresinin eksi ölçek parametresinin üstel fonksiyonuyla çarpılmasıyla ifade edilebiliyorsa üstel bir dağılıma sahip olduğu söylenir ve sıfıra eşit, aksi takdirde olasılık yoğunluk fonksiyonu sıfıra eşittir.
Matematiksel olarak, olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde temsil edilir:
öyle ki ortalama 1 / λ'ya ve varyans 1 / λ 2'ye eşittir .
Üstel Dağılımın Hesaplanması (Adım Adım)
- Adım 1: İlk olarak, söz konusu olayın doğası gereği sürekli ve bağımsız olup olmadığını ve kabaca sabit bir oranda meydana gelip gelmediğini anlamaya çalışın. Herhangi bir pratik olay, değişkenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmasını sağlayacaktır.
- Adım 2: Sonra, her zaman ortalamanın tersi olan ölçek parametresinin değerini belirleyin.
-
- λ = 1 / ortalama
- Adım 3: Ardından, ölçek parametresi λ ile x değişkenini çarpın ve sonra çarpımın üstel fonksiyonunu eksi bir ile çarpın, yani e - λ * x .
- Adım 4: Son olarak, olasılık yoğunluk fonksiyonu, üstel fonksiyon ve ölçek parametresi çarpılarak hesaplanır.
Yukarıdaki formül, sıfırdan büyük veya sıfıra eşit tüm x'ler için geçerliyse, x üstel bir dağılımdır.
Misal
Bir ofis görevlisinin yöneticinin masasından katibin masasına teslim etmesi için geçen süre (dakika cinsinden) olan x örneğini ele alalım. Alınan zaman fonksiyonunun, beş dakikaya eşit ortalama süre miktarıyla üstel bir dağılıma sahip olduğu varsayılır.
Zaman ölçüldüğünden beri x'in sürekli bir rastgele değişken olduğu göz önüne alındığında.
Ortalama, μ = 5 dakika
Bu nedenle, ölçek parametresi, λ = 1 / μ = 1/5 = 0.20
Bu nedenle, üstel dağılım olasılığı işlevi şu şekilde türetilebilir:
f (x) = 0.20 e - 0.20 * x
Şimdi, dağılım eğrisini türetmek için olasılık fonksiyonunu farklı x değerlerinde hesaplayın.
X = 0 için
x = 0 için üstel dağılım olasılık fonksiyonu,
Benzer şekilde, x = 1 ila x = 30 için üstel dağılım olasılık fonksiyonunu hesaplayın
- X = 0 için, f (0) = 0.20 e -0.20 * 0 = 0.200
- X = 1 için, f (1) = 0.20 e -0.20 * 1 = 0.164
- X = 2 için, f (2) = 0.20 e -0.20 * 2 = 0.134
- X = 3 için, f (3) = 0.20 e -0.20 * 3 = 0.110
- X = 4 için, f (4) = 0.20 e -0.20 * 4 = 0.090
- X = 5 için, f (5) = 0.20 e -0.20 * 5 = 0.074
- X = 6 için, f (6) = 0.20 e -0.20 * 6 = 0.060
- X = 7 için, f (7) = 0.20 e -0.20 * 7 = 0.049
- X = 8 için, f (8) = 0.20 e -0.20 * 8 = 0.040
- X = 9 için, f (9) = 0.20 e -0.20 * 9 = 0.033
- X = 10 için, f (10) = 0.20 e -0.20 * 10 = 0.027
- X = 11 için, f (11) = 0.20 e -0.20 * 11 = 0.022
- X = 12 için, f (12) = 0.20 e -0.20 * 12 = 0.018
- X = 13 için, f (13) = 0.20 e -0.20 * 13 = 0.015
- X = 14 için, f (14) = 0.20 e -0.20 * 14 = 0.012
- X = 15 için, f (15) = 0.20 e -0.20 * 15 = 0.010
- X = 16 için, f (16) = 0.20 e -0.20 * 16 = 0.008
- X = 17 için, f (17) = 0.20 e -0.20 * 17 = 0.007
- X = 18 için, f (18) = 0.20 e -0.20 * 18 = 0.005
- X = 19 için, f (19) = 0.20 e -0.20 * 19 = 0.004
- X = 20 için, f (20) = 0.20 e -0.20 * 20 = 0.004
- X = 21 için, f (21) = 0.20 e -0.20 * 21 = 0.003
- X = 22 için, f (22) = 0.20 e -0.20 * 22 = 0.002
- X = 23 için, f (23) = 0.20 e -0.20 * 23 = 0.002
- X = 24 için, f (24) = 0.20 e -0.20 * 24 = 0.002
- X = 25 için, f (25) = 0.20 e -0.20 * 25 = 0.001
- X = 26 için, f (26) = 0.20 e -0.20 * 26 = 0.001
- X = 27 için, f (27) = 0.20 e -0.20 * 27 = 0.001
- X = 28 için, f (28) = 0.20 e -0.20 * 28 = 0.001
- X = 29 için, f (29) = 0.20 e -0.20 * 29 = 0.001
- X = 30 için, f (30) = 0.20 e -0.20 * 30 = 0.000
Dağılım eğrisini aşağıdaki gibi türettik,
Alaka ve Kullanım
Sabit oran varsayımı gerçek dünya senaryolarında çok nadiren karşılansa da, eğer zaman aralığı, hız kabaca sabit olacak şekilde seçilirse, üstel dağılım iyi bir yaklaşık model olarak kullanılabilir. Fizik, hidroloji vb.Alanında birçok başka uygulamaya sahiptir.
İstatistik ve olasılık teorisinde, üstel dağılım ifadesi, sabit bir ortalama oranda bağımsız ve sürekli olarak meydana gelen iki ardışık olay arasındaki zamanı tanımlamak için kullanılan olasılık dağılımını ifade eder. Yaygın olarak kullanılan sürekli dağılımlardan biridir ve kesinlikle excel'deki Poisson dağılımı ile ilgilidir.
