Merkezi Limit Teoremi Tanımı
Merkezi limit teoremi, herhangi bir dağılıma sahip rastgele bir popülasyon değişkeninin rastgele örneklerinin, örneklem büyüklüğü arttıkça normal bir olasılık dağılımı olmaya yaklaşacağını belirtir ve popülasyondaki örneklem boyutu 30'u aştığında, ortalamanın Örnek için tüm gözlemlerin ortalamasının popülasyon ortalamasına eşit olacağı örneklemin.
Merkezi Limit Teoremi Formülü
Örneklem büyüklüğü 30'u aştığında, dağılımın normal dağılım şeklini aldığını daha önce tartışmıştık. Bir değişkenin normal dağılımını belirlemek için, ortalamasını ve varyansını bilmek önemlidir. Normal bir dağılım şöyle ifade edilebilir:
X ~ N (µ, α)
Nerede
- N = gözlem sayısı
- µ = gözlemlerin ortalaması
- α = standart sapma
Çoğu durumda, gözlemler ham haliyle pek bir şey ortaya çıkarmaz. Dolayısıyla, bunu karşılaştırabilmek için gözlemleri standartlaştırmak çok önemlidir. Z-skoru yardımıyla yapılır. Bir gözlem için Z puanının hesaplanması gerekir. Z-skorunu hesaplamak için formül
Z = (X- µ) / α / √n
Nerede
- Z = Z-skoru
- µ = gözlemlerin ortalaması
- α = standart sapma
- n = örnek boyutu
Açıklama
Merkezi limit teoremi, herhangi bir dağılıma sahip rastgele bir popülasyon değişkeninin rastgele örneklerinin, örneklem büyüklüğü arttıkça normal bir olasılık dağılımı olmaya yaklaşacağını belirtir. Merkezi limit teoremi, popülasyondaki örneklem büyüklüğü 30'u aştığında, örneklem için tüm gözlemlerin ortalaması olan örneklem ortalamasının popülasyon ortalamasına eşit olacağını varsayar. Ayrıca, numunenin boyutu 30'u aştığında numunenin standart sapması, popülasyonun standart sapmasına eşit olacaktır. Örnek tüm popülasyondan rastgele seçildiğinden ve örneklem boyutu 30'dan fazla olduğundan, hipotez testine ve hipotez testi için güven aralığını oluşturmaya yardımcı olur.
Merkezi Limit Teoremi Formülü Örnekleri (Excel Şablonu ile)
Örnek 1
Bir örnek yardımıyla normal dağılım kavramını anlayalım. Bir yatırım fonunun ortalama getirisi% 12, yatırım fonu yatırımının ortalama getirisinden standart sapma% 18'dir. Getiri dağılımının normal olarak dağıldığını varsayarsak, yatırım fonunun yatırımının getirisi için dağılımı yorumlayalım.
Verilen,
- Yatırımın ortalama getirisi% 12 olacak
- Standart sapma% 18 olacaktır
Dolayısıyla,% 95 güven aralığının getirisini bulmak için, denklemi şu şekilde çözerek bulabiliriz:
- Üst Aralık = 12 + 1.96 (18) =% 47
- Alt Aralık = 12 - 1.96 (18) = -% 23
Sonuç, zamanın% 95'inde yatırım fonundan getiri oranının% 47 ila% 23 aralığında olacağını göstermektedir. Bu örnekte, 30'dan fazla getiri gözleminin rastgele bir örnekleminin getirisi olan örneklem büyüklüğü, örnek dağılımı normal olarak dağıtılacağı için bize yatırım fonunun nüfus getirisi sonucunu sağlayacaktır.
Örnek 2
Aynı örnekle devam ederek,% 90 güven aralığı için sonucun ne olacağını belirleyelim.
Verilen,
- Yatırımın ortalama getirisi% 12 olacak
- Standart sapma% 18 olacaktır
Dolayısıyla,% 90 güven aralığının getirisini bulmak için, denklemi şu şekilde çözerek bulabiliriz:
- Üst Aralık = 12 + 1.65 (18) =% 42
- Alt Aralık = 12 - 1.65 (18) = -% 18
Sonuç, zamanın% 90'ında yatırım fonundan getiri oranının% 42 ile -% 18 aralığında olacağını gösteriyor.
Örnek 3
Aynı örnekle devam ederek% 99 güven aralığı için sonucun ne olacağını belirleyelim.
Verilen,
- Yatırımın ortalama getirisi% 12 olacak
- Standart sapma% 18 olacaktır
Dolayısıyla,% 90 güven aralığının getirisini bulmak için, denklemi şu şekilde çözerek bulabiliriz:
- Üst Aralık = 12 + 2,58 (18) =% 58
- Alt Aralık = 12 - 2,58 (18) = -% 34
Sonuç, zamanın% 99'unun yatırım fonundan getiri oranının% 58 ile -% 34 aralığında olacağını gösteriyor.
Alaka ve Kullanım
Merkezi limit teoremi, araştırmacının örneklem yardımıyla tüm popülasyonun ortalamasını ve standart sapmasını tahmin etmesine izin verdiği için son derece faydalıdır. Örnek popülasyonun tamamından rastgele seçildiğinden ve örneklem büyüklüğü 30'dan fazla olduğundan, popülasyondan alınan herhangi bir rastgele örneklem boyutu normal olarak dağıtılmaya yaklaşacaktır, bu da hipotez testine ve için güven aralığını oluşturmaya yardımcı olacaktır. hipotez testi. Merkezi limit teoremine dayanarak, araştırmacı tüm popülasyondan rastgele herhangi bir örnek seçebilir ve örneklem büyüklüğü 30'dan fazla olduğunda,daha sonra, örneklem normal bir dağılım izleyeceğinden ve ayrıca örneklemin ortalaması ve standart sapması, popülasyonun ortalaması ve standart sapması ile aynı olacağı için örneklem yardımıyla popülasyonu tahmin edebilir.
