Çarpıklık Formülü, verilen değişkenler kümesinin Olasılık dağılımının bir hesaplaması olan ve aynı pozitif, negatif veya tanımsız olabilir.
Çarpıklığı Hesaplamak İçin Formül
"Çarpıklık" terimi, rastgele değişkenlerin olasılık dağılımının kendi ortalamasına göre asimetrisini ölçmek için kullanılan istatistiksel ölçütü ifade eder ve değeri pozitif, negatif veya tanımsız olabilir. Çarpıklık denkleminin hesaplanması dağılımın ortalamasına, değişken sayısına ve dağılımın standart sapmasına göre yapılır.
Matematiksel olarak çarpıklık formülü şu şekilde temsil edilir:
Çarpıklık = ∑ N ben (X ben - X) 3 / (N-1) * σ 3
nerede
- X i = i inci Rastgele Değişken
- X = Dağılımın Ortalama
- N = Dağılımdaki Değişken Sayısı
- Ơ = Standart Dağıtım
Çarpıklığın Hesaplanması (Adım Adım)
- Adım 1: Öncelikle rastgele değişkenlerin bir veri dağılımını oluşturun ve bu değişkenler X i ile gösterilir .
- Adım 2: Ardından, veri dağıtımında bulunan değişkenlerin sayısını bulun ve N ile gösterilir.
- Adım 3: Ardından, veri dağılımının tüm rastgele değişkenlerinin toplamını dağılımdaki değişkenlerin sayısına bölerek veri dağılımının ortalamasını hesaplayın. Dağılımın ortalaması X ile gösterilir.
- Adım 4: Ardından, her bir değişkenin ortalamadan sapmalarını, yani X i - X ve dağılımdaki değişkenlerin sayısını kullanarak dağılımın standart sapmasını belirleyin . Standart sapma, aşağıda gösterildiği gibi hesaplanır.
- Adım 5: Son olarak, çarpıklığın hesaplanması, aşağıda gösterildiği gibi, her bir değişkenin ortalamadan sapmaları, bir dizi değişken ve dağılımın standart sapması temelinde yapılır.
Misal
20 öğrencinin okul pikniği için para toplamak amacıyla para kazanmak için yaptıkları belirli işleri verdikleri bir yaz kampı örneğini ele alalım. Ancak, farklı öğrenciler farklı miktarda para kazandı. Aşağıda verilen bilgilere göre yaz kampı süresince öğrenciler arasındaki gelir dağılımındaki çarpıklığı belirleyin.
Çözüm:
Aşağıdakiler çarpıklığın hesaplanması için veridir.
Değişken sayısı, n = 2 + 3 + 5 + 6 + 4 = 20
Her bir aralığın orta noktasını hesaplayalım
- (0 TL + 50 TL) / 2 = 25 TL
- (50 ABD doları + 100 ABD doları) / 2 = 75 ABD doları
- (100 ABD doları + 150 ABD doları) / 2 = 125 ABD doları
- (150 ABD doları + 200 ABD doları) / 2 = 175 ABD doları
- (200 ABD doları + 250 ABD doları) / 2 = 225 ABD doları
Şimdi, dağılımın ortalaması şu şekilde hesaplanabilir:
Ortalama = (25 $ * 2 + 75 $ * 3 + 125 $ * 5 + 175 $ * 6 + 225 $ * 4) / 20
Ortalama = 142.50 $
Her değişkenin sapmalarının kareleri aşağıdaki gibi hesaplanabilir,
- (25 ABD doları - 142,5 ABD doları) 2 = 13806,25
- (75 ABD Doları - 142,5 ABD Doları) 2 = 4556,25
- (125 - 142,5 ABD Doları) 2 = 306,25
- (175 Dolar - 142,5 Dolar) 2 = 1056,25
- (225 ABD Doları - 142,5 ABD Doları) 2 = 6806,25
Şimdi, standart sapma aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
ơ = ((13806.25 * 2 + 4556.25 * 3 + 306.25 * 5 + 1056.25 * 6 + 6806.25 * 4) / 20) 1/2
olarak O = 61.80
Her değişkenin sapmalarının küpleri aşağıdaki gibi hesaplanabilir,
- (25 ABD Doları - 142,5 ABD Doları) 3 = -1622234,4
- (75 ABD Doları - 142,5 ABD Doları) 3 = -307546,9
- (125 ABD doları - 142,5 ABD doları) 3 = -5359,4
- (175 ABD Doları - 142,5 ABD Doları) 3 = 34328,1
- (225 ABD Doları - 142,5 ABD Doları) 3 = 561515,6
Bu nedenle, dağılımın çarpıklığının hesaplanması aşağıdaki gibi olacaktır,
= (-1622234,4 * 2 + -307546,9 * 3 + -5359,4 * 5 + 34328,1 * 6 + 561515,6 * 4) / ((20 - 1) * (61,80) 3 )
Çarpıklık olacak -
Çarpıklık = -0.39
Bu nedenle, dağılımın çarpıklığı -0.39'dur, bu da veri dağılımının yaklaşık olarak simetrik olduğunu gösterir.
Çarpıklık Formülünün Alaka Düzeyi ve Kullanımları
Bu makalede daha önce görüldüğü gibi, çarpıklık, veri dağıtımının simetrisini tanımlamak veya tahmin etmek için kullanılır. Risk yönetimi, portföy yönetimi, alım satım ve opsiyon fiyatlandırması açısından çok önemlidir. Ölçüye "Eğrilik" denir çünkü çizilen grafik eğik bir görünüm verir. Pozitif bir çarpıklık, uç değişkenlerin çarpıklıklardan daha büyük olduğunu gösterir. Veri dağılımı, ortalama değeri medyandan daha büyük olacak ve çarpık bir veri kümesine neden olacak şekilde yükseltir. Öte yandan, negatif bir çarpıklık uç değişkenlerin daha küçük olduğunu gösterir, bu da ortalama değeri düşürür ve bu da ortalamadan daha büyük bir medyan ile sonuçlanır. Dolayısıyla çarpıklık, simetri eksikliğini veya asimetrinin boyutunu belirler.
