Standart Normal Dağılımı Hesaplamak İçin Formül
Standart Normal Dağılım, ortalamaya veya ortalamaya göre simetrik olan, ortalamaya veya ortalamaya yakın verilerin ortalamadan veya ortalamadan uzak olan verilere kıyasla daha sık meydana geldiğini gösteren bir olasılık dağılımı türüdür. Standart normal dağılımdaki bir puan "Z-puanı" olarak adlandırılabilir.
Standart Normal Dağılım Formülü aşağıdaki gibi temsil edilir -
Z - Puan = (X - µ) / σ
Nerede,
- X normal bir rastgele değişkendir
- µ ortalama veya ortalama
- σ standart sapmadır
O zaman yukarıdaki tablodan olasılık türetmemiz gerekir.
Açıklama
Standart normal dağılım Z-dağılımı olarak anılan sıra sözcüklerinde aşağıdaki özelliklere sahiptir:
- Ortalaması var veya ortalamasını sıfır diyor.
- 1'e eşit bir standart sapmaya sahiptir.
Standart normal tabloyu kullanarak yoğunluk eğrisinin altındaki alanları bulabiliriz. Z-skoru, standart normal dağılımda ağrılıdır ve veri noktasının ortalamanın altında veya üstünde olduğu standart sapmaların sayısı olarak yorumlanmalıdır.
Negatif bir Z-Puanı, ortalamanın veya ortalamanın altındaki bir puanı gösterirken, pozitif bir Z-Puanı, veri noktasının ortalamanın veya ortalamanın üzerinde olduğunu gösterecektir.
Standart normal dağılım, Ampirik Kural olarak da adlandırılan 68-95-99.70 Kuralı izler ve buna göre verilen verilerin yüzde altmış sekizi, ortalamanın veya ortalamanın 1 standart sapması dahilinde olacaktır. Yüzde doksan beş, 2 standart sapma dahilinde olacaktır ve son olarak, değerin yüzde doksan dokuz ondalık yedisi ortalamanın veya ortalamanın 3 standart sapmasına girecektir.
Örnekler
Örnek 1
Size verilen ortalamayı 850, standart sapmayı 100 olarak düşünün. 940'ın üzerinde bir puan için Standart Normal Dağılımı hesaplamanız gerekir.
Çözüm:
Standart normal dağılımın hesaplanması için aşağıdaki verileri kullanın.
Dolayısıyla, z skorunun hesaplanması şu şekilde yapılabilir:
Z - puan = (X - µ) / σ
= (940 - 850) / 100
Z Puanı -
Z Puanı = 0.90
Şimdi yukarıdaki standart normal dağılım tablosunu kullanarak, 0.90 için 0.8159 olarak bir değere sahibiz ve P (Z> 0.90) olanın üzerindeki puanı hesaplamamız gerekiyor.
Masaya giden doğru yola ihtiyacımız var. Dolayısıyla, olasılık 0.1841'e eşit olan 1 - 0.8159 olacaktır.
Dolayısıyla puanların yalnızca% 18,41'i 940'ın üzerindedir.
Örnek 2
Sunita, matematik dersleri için özel dersler alıyor ve şu anda altında kayıtlı yaklaşık 100 öğrencisi var. Öğrencileri için girdiği 1. testten sonra, aşağıdaki ortalama sayıları aldı, puanladı ve yüzdelik olarak sıraladı.
Çözüm:
İlk olarak, tedavinin sol tarafı olan hedeflediğimiz şeyi çiziyoruz. P (Z <75).
Standart normal dağılımın hesaplanması için aşağıdaki verileri kullanın.
Bunun için önce ortalama ve standart sapmayı hesaplamamız gerekiyor.
Ortalamanın hesaplanması şu şekilde yapılabilir:
Ortalama = (98 + 40 + 55 + 77 + 76 + 80 + 85 + 82 + 65 + 77) / 10
Ortalama = 73.50
Standart sapmanın hesaplanması şu şekilde yapılabilir:
Standart sapma = √ (∑ (x - x) / (n-1))
Standart sapma = 16.38
Dolayısıyla, z skorunun hesaplanması şu şekilde yapılabilir:
Z - puan = (X - µ) / σ
= (75 - 73.50) / 16.38
Z Puanı -
Z Puanı = 0.09
Şimdi yukarıdaki standart normal dağılım tablosunu kullanarak, 0.09 için 0.5359 değerimiz var ve bu P (Z <0.09) değeridir.
Dolayısıyla öğrencilerin% 53.59'u 75'in altında puan almıştır.
Örnek 3
Vista limited, bir elektronik ekipman showroomudur. Tüketici davranışını analiz etmek istiyor. Şehirde yaklaşık 10.000 müşterisi var. Ortalama olarak müşteri, dükkânına gelince 25.000 harcıyor. Bununla birlikte, harcama, müşteriler 22.000 ila 30.000 arasında harcama yaptıkça önemli ölçüde değişir ve vista limited yönetiminin ortaya çıkardığı 10.000 müşteri civarında bu varyansın ortalaması yaklaşık 500'dür.
Vista limited yönetimi size yaklaştı ve müşterilerinin ne kadarının 26.000'den fazla harcadığını öğrenmekle ilgileniyorlar? Müşterinin harcama rakamlarının normal olarak dağıtıldığını varsayın.
Çözüm:
İlk olarak, tedavinin sol tarafı olan hedeflediğimiz şeyi çiziyoruz. P (Z> 26000).
Standart normal dağılımın hesaplanması için aşağıdaki verileri kullanın.
Z skorunun hesaplanması şu şekilde yapılabilir:
Z - puan = (X - µ) / σ
= (26000 - 25000) / 500
Z Puanı-
Z Puanı = 2
Standart normal dağılımın hesaplanması şu şekilde yapılabilir:
Standart normal dağılım
Şimdi, standart normal dağılımın yukarıdaki tablosunu kullanarak, 2.00 için bir değerimiz var, bu 0.9772 ve şimdi P (Z> 2) için hesaplamamız gerekiyor.
Masaya giden doğru yola ihtiyacımız var. Dolayısıyla, olasılık 0,0228'e eşit olan 1 - 0,9772 olacaktır.
Dolayısıyla tüketicilerin% 2,28'i 26000'in üzerinde harcama yapmaktadır.
Alaka ve Kullanım
Bilgiye dayalı ve doğru bir karar vermek için, tüm puanların benzer bir ölçeğe dönüştürülmesi gerekir. Tek bir standart sapma ve tek bir ortalama veya ortalama ile bu puanların standart normal dağılıma Z puanı yöntemi kullanılarak dönüştürülmesi gerekir. Bu, büyük ölçüde istatistik alanında ve aynı zamanda tüccarlar tarafından finans alanında da kullanılmaktadır.
Birçok istatistiksel teori, bu tür normal dağılımı izleyecekleri ana varsayımı altında (finans alanlarında) varlığın fiyatlarını modellemeye çalışmıştır. Fiyat dağılımları çoğunlukla daha kalın kuyruklara sahip olma eğilimindedir ve bu nedenle gerçek hayat senaryolarında 3'ten daha büyük olan basıklığa sahiptir. Bu tür varlıkların, ortalamanın veya ortalamanın ötesinde 3 standart sapmadan daha büyük ve normal bir dağılımda beklenen varsayımdan daha fazla fiyat hareketlerine sahip olduğu gözlemlenmiştir.
