Log-Normal Dağılım nedir?
Log-normal dağılım, logaritmaları normal olarak dağıtılan rastgele değişkenlerin sürekli bir dağılımıdır. Başka bir deyişle, lognormal dağılım, x'in (rasgele değişken) normal olarak dağıtıldığı varsayıldığında , e x işlevi tarafından oluşturulur . E x'in doğal logaritmasında x, logaritmik olarak dağıtılmış rasgele değişkenlerin logaritmaları normal olarak dağıtılır.
Y = ln (X) ise, X değişkeni normal olarak dağıtılır, burada ln doğal logaritmadır.
- Y = e x
- Her iki tarafta da doğal bir logaritma varsayalım.
- lnY = ln e x sonuçta lnY = x
Bu nedenle, rastgele değişken olan X'in normal bir dağılımı varsa, Y'nin lognormal bir dağılıma sahip olduğunu söyleyebiliriz.
Log-Normal Dağılım Formülü
Lognormal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu için formül, ortalama μ ve standart sapma σ ile tanımlanır, bu şu şekilde ifade edilir:
Log-Normal Dağılım Parametreleri
Log-normal dağılımı aşağıdaki üç parametre ile karakterize edilir:
- σ , aynı zamanda şekil parametresi olarak da adlandırılan dağılımın logunun standart sapmasıdır. Şekil parametresi genellikle lognormal dağılımın genel şeklini etkiler, ancak grafiğin konumunu ve yüksekliğini etkilemez.
- m , dağılımın medyanı, ölçek parametresi olarak da bilinir.
- Θ , x ekseninde grafiği bulmak için kullanılan konum parametresi.
Ortalama ve standart sapma, lognormal dağılımın iki ana parametresidir ve bu iki parametre tarafından açıkça tanımlanır.
Aşağıdaki şekil normal dağılımı ve log-normal dağılımı göstermektedir.
Yukarıdaki şekilden, log-normal dağılımın aşağıdaki özelliklerini not edebiliriz.
- Log-normal dağılımlar, daha düşük ortalama değerler ve dikkate alındığında rastgele değişkenlerdeki daha yüksek varyans nedeniyle pozitif olarak sağa doğru çarpıktır.
- Lognormal dağılım, negatif değerler taşıması beklenmeyen varlık fiyatlarının modellenmesine yardımcı olduğu için her zaman aşağıdan 0 ile sınırlandırılmıştır.
- Lognormal dağılım, çok sayıda küçük değerle pozitif olarak eğrilir ve birkaç ana değer içerir, bu da ortalamanın çok sık moddan daha büyük olmasına neden olur.
Yukarıdaki şekilden log-normal dağılımının 0 ile sınırlandığını ve sağa doğru uzun kuyruğu ile fark edilebilecek şekilde pozitif olarak sağa doğru eğimli olduğunu gözlemledik. Bu iki gözlem, lognormal dağılımların temel özellikleri olarak kabul edilir. Uygulamada, lognormal dağılımlar, hisse senedi veya varlık fiyatlarının dağılımında çok yardımcı olurken, normal dağıtım, varlığın belirli bir süre boyunca beklenen getirilerini tahmin etmede çok yararlıdır.
Log-Normal Dağılım Örnekleri
Aşağıda, log-normal dağılımların kullanılabileceği bazı örnekler verilmiştir:
- Enerji ve petrol rezervindeki gaz hacmi.
- Süt üretim hacmi.
- Yağış miktarı.
- Hayatta kalma şansı stres oranıyla karakterize edilen imalat ve sanayi birimlerinin potansiyel yaşamları.
- Herhangi bir bulaşıcı hastalığın var olduğu dönemlerin kapsamı.
Log-Normal Dağılımın Uygulanması ve Kullanımları
Aşağıdakiler, log-normal dağılımının uygulamaları ve kullanımlarıdır.
- En yaygın kullanılan ve popüler dağılım, normal dağılımlı ve simetrik olan ve doğaldan basitten çok karmaşığa kadar çeşitli doğalları modelleyen çan şeklinde bir eğri oluşturan normal bir dağılımdır.
- Ancak normal dağılımın, lognormal dağılımın kolayca uygulanabileceği kısıtlamalarla karşılaştığı durumlar vardır. Normal dağılım bir negatif rasgele değişkeni düşünebilir, ancak lognormal dağılım yalnızca pozitif rasgele değişkenleri öngörür.
- Lognormal dağılımın finansmanda kullanıldığı ve varlık fiyatlarının analizinde uygulandığı çeşitli uygulamalardan biri. Varlıkların beklenen getirisi normal bir dağılımda grafikle gösterilir, ancak varlıkların fiyatları logaritmik bir dağılımda grafikle gösterilir.
- Lognormal dağılım eğrisi yardımıyla, belirli bir süre boyunca varlıkların bileşik getiri oranını kolayca hesaplayabiliriz.
- Belirli bir süre boyunca varlık fiyatlarını hesaplamak için normal bir dağılım uyguladığımızda, daha sonra varlıkların fiyatlarının 0'dan düşük olduğunu varsayan -% 100'den daha az getiri elde etme olasılıkları vardır. Ancak, bileşiği tahmin etmek için lognormal dağılım kullanırsak Belirli bir süre boyunca getiri oranı, lognormal dağılım yalnızca pozitif rastgele değişkenleri dikkate aldığından, negatif getiri alma durumundan kolayca kurtulabiliriz.
- Fiyat göreli, varlığın dönem sonundaki fiyatının, varlığın 1 artı elde tutma dönemi getirisine eşit olan başlangıç fiyatına bölünmesiyle elde edilir. Dönem fiyatının varlığının sonunu bulmak için, onu nispi fiyatla ilk varlık fiyatı ile çarparak aynı sonuca ulaşabiliriz. Lognormal dağılım yalnızca pozitif değer alır; bu nedenle dönem sonundaki varlık fiyatı 0'ın altında olamaz.
Hisse Senedi Fiyatları Modellemesinde Log-Normal Dağılım
Log-normal dağılım, hisse senedi ve diğer birçok varlık fiyatının olasılık dağılımını modellemek için kullanılmıştır. Örneğin, Black-Scholes-Merton opsiyon fiyatlandırma modelinde lognormal oluşumun ortaya çıktığını gözlemledik, burada bir dayanak varlık opsiyonunun fiyatının aynı anda lognormal olarak dağıtıldığı varsayımı vardır.
Sonuç
- Normal dağılım, asimetrik ve çan şeklindeki eğri olduğu söylenen olasılık dağılımıdır. Normal bir dağılımda, sonucun% 69'u bir standart sapma ve% 95'i iki standart sapma dahilindedir.
- Normal dağılımın popülaritesi nedeniyle, çoğu insan normal dağılım kavramına ve uygulamasına aşinadır, ancak o zamanlar lognormal dağılım kavramına eşit derecede aşina görünmüyorlar. Normal dağılım, logaritmalar yardımıyla lognormal dağılıma dönüştürülebilir; bu, logaritmik normal dağılımların normalde dağıtılan tek rastgele değişkeni dikkate alması nedeniyle temel temel haline gelir.
- Lognormal dağılımlar, normal dağılım ile birlikte kullanılabilir. Lognormal dağılımlar, bazın e = 2,718'e eşit olduğu ln, doğal logaritmanın varsayımının sonucudur. Verilen tabana ek olarak, lognormal dağılım, daha sonra lognormal dağılımın şeklini etkileyecek başka bir temel kullanılarak yapılabilir.
- Lognormal dağılım, normal dağılım eğrilerinden normal dağılmış rasgele değişkenlerin günlüğünü gösterir. Ln, doğal log, normal dağılım eğrisinde bulunabilen istenen rastgele değişken x'i elde etmek için bir tabanın yükseltilmesi gereken üs olarak bilinir.
