Hipergeometrik Dağılım Tanımı
İstatistiklerde ve olasılık teorisinde, hipergeometrik dağılım temelde belirli bir olasılık dağılımı olup, k başarı olasılığını (yani, belirli bir özelliği olan çizilen nesne için bazı rastgele çekimler), verilen bir bu özelliğe sahip doğru K nesnelerini içeren, çekmenin başarılı olabileceği veya başarısız olabileceği popülasyon boyutu N.
Hipergeometrik dağılım olasılığı formülü, popülasyondaki bir dizi öğe, örnekteki öğe sayısı, popülasyondaki başarı sayısı, örneklemdeki başarı sayısı ve birkaç kombinasyon kullanılarak elde edilir. Matematiksel olarak olasılık şu şekilde temsil edilir:
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
nerede,
- N = Popülasyondaki öğe sayısı
- n = Örnekteki öğe sayısı
- K = Popülasyondaki başarı sayısı
- k = Örnekteki başarı sayısı
Bir hipergeometrik dağılımın ortalama ve standart sapması şu şekilde ifade edilir:
Ortalama = n * K / N Standart Sapma = (n * K * (N - K) * (N - n) / (N 2 * (N - 1))) 1/2Açıklama
Adım 1: İlk olarak, N ile gösterilen popülasyondaki toplam öğe sayısını belirleyin.Örneğin, bir destedeki oyun kağıdı sayısı 52'dir.
Adım 2: Ardından, örnekteki n-örneğin desteden çekilen kartların sayısı ile gösterilen öğelerin sayısını belirleyin.
Adım 3: Ardından, popülasyonda başarı olarak kabul edilecek örnekleri belirleyin ve K ile gösterilir. Örneğin, toplam destedeki 13 kalp sayısı.
Adım 4: Daha sonra, çizilen örnekte başarı olarak değerlendirilecek örnekleri belirleyin ve k ile gösterilir. Örneğin, desteden çekilen kartlardaki kupa sayısı.
Adım 5: Son olarak, bir hipergeometrik dağılım olasılığı formülü, popülasyondaki bir dizi öğe (adım 1), örnekteki öğe sayısı (adım 2), popülasyondaki başarı sayısı (adım 3) kullanılarak elde edilir. ve aşağıda gösterildiği gibi örnekteki başarı sayısı (adım 4).
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C nHipergeometrik Dağılım Örnekleri (Excel Şablonu ile)
Örnek 1
6 kartın değiştirilmeden rastgele çekildiği sıradan bir oyun kartı destesi örneğini ele alalım. Tam olarak 4 kırmızı takım kartı, yani karo veya kupa çekme olasılığını belirleyin.
- Verilen, N = 52 (normal bir oyun destesinde 52 kart olduğu için)
- n = 6 (Desteden rastgele çekilen kart sayısı)
- K = 26 (çünkü her biri karo ve kupa takımında 13 kırmızı kart var)
- k = 4 (Çizilen örnekte başarılı sayılacak kırmızı kart sayısı)
Çözüm:
Bu nedenle, çekilen 6 kartta tam olarak 4 kırmızı kart çekme olasılığı yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Olasılık = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 26 C 4 * (52 - 26) C (6 - 4) / 52 C 6
= 26 ° C 4 * 26 ° C 2 / 52 ° C 6
= 14950 * 325/20358520
Olasılık -
Olasılık = 0.2387 ~% 23.87
Bu nedenle, sıradan bir desteden rastgele 6 kart çekerken tam olarak 4 kırmızı kart çekme olasılığı% 23.87'dir.
Örnek 2
5 100 dolarlık banknot ve 7 1 dolarlık banknot içeren başka bir cüzdan örneğini ele alalım. 4 fatura rastgele seçilirse, tam olarak 3 100 dolarlık banknot seçme olasılığını belirleyin.
- Verilen, N = 12 (100 dolarlık banknotların sayısı + 1 dolarlık banknotların sayısı)
- n = 4 (Rastgele seçilen fatura sayısı)
- K = 5 (100 $ 'lık 5 banknot olduğundan)
- k = 3 (Seçilen örnekte başarılı sayılacak 100 $ 'lık banknot sayısı)
Çözüm:
Bu nedenle, rastgele seçilen 4 faturada tam olarak 3 adet 100 dolarlık banknot seçme olasılığı, yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Olasılık = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 5 C 3 * (12 - 5) C (4-3) / 12 C 4
= 5 ° C 3 * 7 ° C 1 / 12 ° C 4
= 10 * 7/495
Olasılık -
Olasılık = 0.1414 ~% 14.14
Bu nedenle, 4 rastgele fatura çekerken tam olarak 3 100 dolarlık banknot seçme olasılığı% 14.14'tür.
Alaka ve Kullanımlar
Hipergeometrik dağılım kavramı önemlidir, çünkü deneme sayısının çok büyük olmadığı ve örneklerin değiştirilmeden sonlu bir popülasyondan alındığı durumlarda olasılıkları belirlemenin doğru bir yolunu sağlar. Aslında, hipergeometrik dağılım, deneme sayısı önemli ölçüde fazla olduğunda kullanılan iki terimli dağılıma benzer. Bununla birlikte, hipergeometrik dağılım ağırlıklı olarak yerine koymadan örnekleme için kullanılır.
