Euler'in Totient Fonksiyonu - Anlam, Örnekler, Nasıl Hesaplanır?

Euler'in Totient Fonksiyonu Nedir?

Euler'in Totient işlevi, genellikle 'n' olarak adlandırılan ve 'n'ye kadar asal sayı olan belirli bir tam sayıya kadar pozitif tam sayıları sayan matematiksel çarpımsal işlevlerdir ve işlev, en fazla var olan asal sayıların sayısını bilmek için kullanılır. verilen tamsayı 'n'.

Açıklama

Verilen tam sayıya kaç asal sayının geldiğini bilmek için Euler'in Toplam Fonksiyonu kullanılır. Aynı zamanda aritmetik fonksiyon olarak da adlandırılır. Euler'in Totient işlevinin bir uygulaması veya kullanımı için iki şey önemlidir. Birincisi, verilen 'n' tamsayısından oluşan gcd'nin birbiriyle çarpılması gerektiğidir, diğeri ise gcd sayılarının yalnızca asal sayılar olması gerektiğidir. Bu durumda 'n' tamsayısı 1'den fazla olmalıdır. Negatif bir tam sayıdan, Euler'in Toplam Fonksiyonunu hesaplamak mümkün değildir. Bu durumda ilke, ϕ (n) için, m ve n olarak adlandırılan çarpanların 1'den büyük olması gerektiğidir. Dolayısıyla 1 ile gösterilir.

Tarih

Euler, bu işlevi 1763'te tanıttı. Başlangıçta, Euler, işlevin belirtilmesi için Yunancayı π kullandı, ancak bazı sorunlar nedeniyle, Yunanca ifadesi π tanınmadı. Ve ona uygun gösterim işaretini, yani ϕ vermeyi başaramadı. Bu nedenle işlev tanıtılamaz. Ayrıca, ϕ Gauss'un 1801 Disquisitiones Arithmeticae'sinden alınmıştır. İşlev aynı zamanda phi işlevi olarak da adlandırılır. Ancak 1879'da JJ Sylvester, özellikleri ve işlevlerin kullanımları nedeniyle bu işlev için totient terimini dahil etti. Farklı kurallar, p tamsayı bir asal sayı ise, o zaman hangi kuralın uygulanacağı vb. Gibi verilen farklı tam sayı türlerini ele alacak şekilde çerçevelenmiştir. Euler tarafından çerçevelendirilen tüm kurallar uygulanabilir ve bugün bile, aynı.

Euler'in Totient Fonksiyonunun Özellikleri

Bazı farklı özellikler var. Euler'in totient işlevinin bazı özellikleri aşağıdaki gibidir:

  • Φ, işlevi belirtmek için kullanılan semboldür.
  • Fonksiyon, asal sayıların teorisiyle ilgilenir.
  • İşlev, yalnızca pozitif tam sayılar durumunda uygulanabilir.
  • Φ (n) için, fonksiyonu hesaplamak için iki çarpımsal asal sayı bulunmalıdır.
  • Fonksiyon matematiksel bir fonksiyondur ve birçok yönden faydalıdır.
  • Tam sayı 'n' bir asal sayı ise, gcd (m, n) = 1'dir.
  • İşlev, 1 <m <n formülü üzerinde çalışır; burada m ve n, asal sayılar ve çarpımsal sayılardır.
  • Genel olarak denklem
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • İşlev, temel olarak, verilen tam sayıdan daha küçük olan pozitif tamsayıların sayısını sayar; bu, verilen tam sayıya göre asal sayılardır.
  • Eğer tamsayı p asal ise ϕ (p) = p - 1
  • Eğer p'nin gücü asal ise, o zaman a = p n bir asal güç ise ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) tek değil
  • ϕ (n) açık değil.
  • ϕ (n), n> 3 her zaman eşittir.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Euler'in Totient Fonksiyonunu Hesapla

Örnek 1

Φ (7) hesaplansın mı?

Çözüm:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Tüm sayılar 7'ye asal olduğu için, ϕ'yi hesaplamayı kolaylaştırdı.

Örnek 2

Φ (100) hesaplansın mı?

Çözüm:

100 büyük sayı olduğundan, 100 ile asal sayı olan asal sayıları 1'den 100'e kadar hesaplamak zaman alıcıdır. Dolayısıyla aşağıdaki formülü uygularız:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Örnek 3

Φ (240) hesaplansın mı?

240'ın katları 16 * 5 * 3, yani 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1-1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

n M asal sayı değilse n m - n m-1 kullanırız

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Örnek 4

Φ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1-1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Uygulamalar

Çeşitli uygulamalar aşağıdaki gibidir:

  • İşlev, internet güvenliği şifrelemesi için kullanılan RSA şifreleme sistemini tanımlamak için kullanılır.
  • Asal sayılar teorisinde kullanılır.
  • Büyük hesaplamalarda da kullanılır.
  • Temel sayı teorisinin uygulamalarında kullanılır.

Sonuç

Euler'in totient işlevi birçok yönden faydalıdır. Güvenlik amacıyla kullanılan RSA şifreleme sisteminde kullanılmaktadır. Fonksiyon, asal sayı teorisi ile ilgilenir ve büyük hesaplamaların hesaplanmasında da faydalıdır. Fonksiyon aynı zamanda cebirsel hesaplamalarda ve temel sayılarda da kullanılır. İşlevi belirtmek için kullanılan sembol ϕ'dir ve aynı zamanda phi işlevi olarak da adlandırılır. İşlev, pratik kullanımdan ziyade daha teorik kullanımdan oluşur. Fonksiyonun pratik kullanımı sınırlıdır. İşlev, yalnızca teorik açıklamalardan ziyade çeşitli pratik örneklerle daha iyi anlaşılabilir. Euler'in totient işlevini hesaplamak için çeşitli kurallar vardır ve farklı sayılar için farklı kurallar uygulanacaktır. İşlev ilk olarak 1763'te tanıtıldı, ancak bazı sorunlar nedeniyle1784'te tanındı ve adı 1879'da değiştirildi. İşlev evrensel bir işlevdir ve her yerde uygulanabilir.

Ilginç makaleler...