En Küçük Kareler Regresyon Yöntemi Tanım
En küçük kareler regresyon yöntemi, doğrusal bir çizgi ile birlikte bağımlı ve bağımsız değişken arasındaki ilişkiyi kuran bir regresyon analizi şeklidir. Bu satır, "en uygun çizgi" olarak adlandırılır.
Regresyon Analizi, bir değişkenin bilinmeyen değerlerini başka bir değişkenin bilinen değerlerinden tahmin edebilen veya tahmin edebilen istatistiksel bir yöntemdir. Değişken ilgisini tahmin etmek için kullanılan değişken, bağımsız veya açıklayıcı değişken olarak adlandırılır ve tahmin edilen değişken, bağımlı veya açıklanan değişken olarak adlandırılır.
İki değişkeni ele alalım, x & y. Bunlar, y ekseni üzerindeki y'nin x ekseni değerleri üzerinde x değerleri olan bir grafik üzerine çizilir. Bu değerler aşağıdaki grafikte noktalarla temsil edilmektedir. Noktaların arasından düz bir çizgi çizilir - buna en uygun çizgi denir.
En küçük kareler regresyonunun amacı, sağlanan değerler kümesi aracılığıyla çizilen çizginin değerler arasındaki en yakın ilişkiyi oluşturmasını sağlamaktır.
En Küçük Kareler Regresyon Formülü
En Küçük Kareler yöntemi altındaki regresyon çizgisi, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır -
ŷ = a + bx
Nerede,
- ŷ = bağımlı değişken
- x = bağımsız değişken
- a = y kesme noktası
- b = çizginin eğimi
B çizgisinin eğimi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır -
Veya
Y kesme noktası, 'a' aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır -
En Küçük Kare Regresyonunda En İyi Uyum Çizgisi
En iyi uyan çizgi, aralarındaki ilişkiyi en iyi temsil eden bir dizi veri noktası üzerinden çizilen düz bir çizgidir.
X ve y ekseni boyunca bir dizi verinin çizildiği aşağıdaki grafiği düşünelim. Bu veri noktaları mavi noktalar kullanılarak temsil edilir. Bu noktalardan üç çizgi çizilir - yeşil, kırmızı ve mavi çizgi. Yeşil çizgi tek bir noktadan, kırmızı çizgi ise üç veri noktasından geçer. Bununla birlikte, mavi çizgi dört veri noktasından geçer ve kalan noktalar ile mavi çizgi arasındaki mesafe diğer iki çizgiye kıyasla minimumdur.
Yukarıdaki grafikte mavi çizgi, tüm değerlere en yakın olduğu için en iyi uyan çizgiyi temsil eder ve çizginin dışındaki noktalar arasındaki mesafe minimumdur (yani, artıklar ile en iyi uyan çizgi arasındaki mesafe) - aynı zamanda artıkların karelerinin toplamı olarak da adlandırılır). Diğer iki çizgide, turuncu ve yeşilde, artıklar ile çizgiler arasındaki mesafe mavi çizgiye göre daha büyüktür.
En küçük kareler yöntemi, artıklar arasındaki mesafeyi ve en uygun çizgiyi en aza indirerek bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki en yakın ilişkiyi sağlar, yani bu yaklaşımda artıkların karelerinin toplamı minimumdur. "En küçük kareler" terimi buradan gelir.
En Küçük Kareler Regresyon Çizgisi Örnekleri
Bu formülleri aşağıdaki soruda uygulayalım -
Örnek 1
Teknisyenlerin bir şirkette (birkaç yıl içinde) deneyimlerine ve performans derecelendirmelerine ilişkin ayrıntılar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu değerleri kullanarak, 20 yıllık deneyime sahip bir teknisyenin performans derecelendirmesini tahmin edin.
| Teknisyen Deneyimi (Yıl Bazında) | performans değerlendirmesi |
| 16 | 87 |
| 12 | 88 |
| 18 | 89 |
| 4 | 68 |
| 3 | 78 |
| 10 | 80 |
| 5 | 75 |
| 12 | 83 |
Çözüm -
En küçük kareleri hesaplamak için önce Y kesişim noktasını (a) ve bir çizginin (b) eğimini şu şekilde hesaplayacağız -
Çizginin eğimi (b)
- b = 6727 - ((80 * 648) / 8) / 1018 - ((80) 2 /8)
- = 247/218
- = 1.13
Y kesme noktası (a)
- a = 648 - (1,13) (80) / 8
- = 69.7
Regresyon çizgisi şu şekilde hesaplanır -
Formülde x değerinin yerine 20 koyarsak,
- ŷ = a + bx
- ŷ = 69,7 + (1,13) (20)
- ŷ = 92,3
20 yıllık deneyime sahip bir teknisyen için performans derecelendirmesi 92,3 olarak tahmin edilmektedir.
Örnek 2
Excel Kullanarak En Küçük Kareler Regresyon Denklemi
En küçük kareler regresyon denklemi, aşağıdaki adımlarla excel kullanılarak hesaplanabilir -
- Excel'e veri tablosu ekle.
- Veri noktalarını kullanarak bir dağılım grafiği ekleyin.
- Dağılım grafiğine bir eğilim çizgisi ekleyin.
- Eğilim çizgisi seçeneklerinin altında - doğrusal eğilim çizgisini seçin ve grafikte ekran denklemini seçin.
- Verilen excel veri kümesi için en küçük kareler regresyon denklemi grafikte görüntülenir.
Böylece, verilen excel veri seti için en küçük kareler regresyon denklemi hesaplanır. Denklem kullanılarak tahminler ve trend analizleri yapılabilir. Excel araçları ayrıca ayrıntılı regresyon hesaplamaları sağlar.
Avantajlar
- Regresyon analizinin en küçük kareler yöntemi, tahmin modelleri ve trend analizi için en uygun yöntemdir. En iyi, gelecekteki herhangi bir değişkenin değerinin mevcut değişkenler ve bunlar arasındaki ilişki yardımıyla tahmin edildiği ekonomi, finans ve borsa alanlarında kullanılır.
- En küçük kareler yöntemi, değişkenler arasındaki en yakın ilişkiyi sağlar. Kalan karelerin toplamı ile en uygun çizgiye arasındaki fark bu yöntemde minimumdur.
- Hesaplama mekanizması basit ve uygulaması kolaydır.
Dezavantajları
- En küçük kareler yöntemi, belirli bir değişken kümesi arasında en yakın ilişkiyi kurmaya dayanır. Hesaplama mekanizması verilere duyarlıdır ve aykırı değerler (istisnai veriler) olması durumunda sonuçlar büyük ölçüde etkilenme eğiliminde olabilir.
- Bu tür bir hesaplama en çok doğrusal modeller için uygundur. Doğrusal olmayan denklemler için daha kapsamlı hesaplama mekanizmaları uygulanır.
Sonuç
En küçük kareler yöntemi, tahmin modelleri ve trend analizi için en popüler kullanılan yöntemlerden biridir. Uygun şekilde hesaplandığında en iyi sonuçları verir.
