Binom Dağılımını Hesaplamak İçin Formül
Binom Dağılım Formülü, bağımsız olan binom deneyinin n denemesinde x başarı elde etme olasılığını hesaplamak için kullanılır ve olasılık, deneme sayısı ve nCx tarafından temsil edilen başarı sayısının elde edilen başarı olasılığı ile çarpılmasıyla elde edilir. başarı sayısı ile (1-p) nx ile temsil edilen deneme sayısı arasındaki farkın gücüne yükseltilen başarısızlığın olasılığı ile çarpılan px ile temsil edilen başarı sayısının kuvvetine.
Bir binom deneyinin n bağımsız denemesinde x başarı elde etme olasılığı aşağıdaki iki terimli dağılım formülüyle verilir:
P (X) = n C x p x (1-p) nx
p, başarı olasılığı nerede
Yukarıdaki denklemde, bir kombinasyon formülünden başka bir şey olmayan n C x kullanılmıştır. Kombinasyonları hesaplamak için formül n C x = n! / x! (nx)! burada n, öğe sayısını (bağımsız denemeler) ve x, bir seferde seçilen öğelerin sayısını (başarılar) temsil eder.
Binom dağılımında n = 1 olması durumunda, dağılım Bernoulli dağılımı olarak bilinir. Binom dağılımının ortalaması np'dir. Binom dağılımının varyansı np (1-p) 'dir.
Binom Dağılımının Hesaplanması (Adım Adım)
Binom dağılımının hesaplanması, aşağıdaki dört basit adım kullanılarak elde edilebilir:
- Adım 1: Deneme sayısı ile başarı sayısı arasındaki kombinasyonu hesaplayın. N C x'in formülü n! = n * (n-1) * (n-2)… * 2 * 1. Bir n sayısı için, n'nin faktöriyeli n olarak yazılabilir! = n * (n-1)! Örneğin, 5! 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- Adım 2: p x olan başarı sayısının gücüne yükseltilen başarı olasılığını hesaplayın .
- Adım 3: Başarı sayısı ile deneme sayısı arasındaki farkın gücüne yükseltilen başarısızlık olasılığını hesaplayın. Başarısızlık olasılığı 1-p'dir. Bu nedenle, bu (1-p) nx
- Adım 4: Adım 1, Adım 2 ve Adım 3'te elde edilen sonuçların ürününü bulun.
Örnekler
Örnek 1
Deneme sayısı (n) 10'dur. Başarı olasılığı (p) 0.5'tir. Tam olarak altı başarı elde etme olasılığını hesaplamak için iki terimli dağılım hesaplamasını yapın.
Çözüm:
Binom dağılımının hesaplanması için aşağıdaki verileri kullanın.
Binom dağılımının hesaplanması şu şekilde yapılabilir,
P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Tam 6 Başarılar Alma ihtimali bazen daha fazla katta olacak
P (x = 6) = 0.2051
Tam 6 başarı elde etme olasılığı 0.2051
Örnek 2
Bir sigorta şirketinin yöneticisi, altında çalışan sigorta satıcıları tarafından satılan sigorta poliçelerinin verilerini inceler. Kasko satın alanların% 80'inin erkek olduğunu tespit ediyor. 8 kasko sahibi rastgele seçilirse, tam 5'inin erkek olma olasılığının ne olacağını öğrenmek istiyor.
Çözüm: Önce n, p ve x'in ne olduğunu bulmalıyız.
Binom dağılımının hesaplanması şu şekilde yapılabilir,
P (x = 5) = 8 C 5 * (0.8) 5 (1-0.8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3
= 56 * 0,32768 * 0,008
Tam 5 Başarılar olasılığı bazen daha fazla katta olacak
P (x = 5) = 0,14680064
Tam 5 kasko sahibinin erkek olma olasılığı 0,14680064'tür.
Örnek 3
Hastane yönetimi, kanser hastalarını tedavi etmek için yeni bir ilacın piyasaya sürülmesinden heyecan duyuyor çünkü bir kişinin başarılı bir şekilde tedavi etme şansı çok yüksek. Bir hastanın ilaçla başarılı bir şekilde tedavi edilme olasılığı 0,8'dir. İlaç 10 hastaya verilir. Başarılı bir şekilde tedavi edilen 9 veya daha fazla hastanın olasılığını bulun.
Çözüm: Önce n, p ve x'in ne olduğunu bulmalıyız.
9 veya daha fazla hastanın başarılı bir şekilde tedavi edilme olasılığını bulmalıyız. Böylece 9 veya 10 hasta başarılı bir şekilde tedavi edilir.
x (olasılık bulmanız gereken sayı) = 9 veya x = 10
P (9) ve P (10) 'u bulmalıyız
P (x = 9) 'u bulmak için binom dağılımının hesaplanması aşağıdaki gibi yapılabilir,
P (x = 9) = 10 C 9 * (0.8) 9 (1-0.8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0,134217728 * (0,2) 1
= 10 * 0,134217728 * 0,2
9 Hastalarda olasılığı bazen daha fazla katta olacak
P (x = 9) = 0,2684
P (x = 10) 'u bulmak için binom dağılımının hesaplanması aşağıdaki gibi yapılabilir,
P (x = 10) = 10 C 10 * (0.8) 10 (1-0.8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0.107374182 * (0.2) 0
= 1 * 0.107374182 * 1
10 Hastalarda ihtimali bazen daha fazla katta olacak
P (x = 10) = 0.1074
Bu nedenle, P (x = 9) + P (x = 10) = 0.268 + 0.1074
= 0.3758
Bu nedenle 9 veya daha fazla hastanın ilaçla tedavi edilme olasılığı 0,375809638'dir.
Binom Dağılımı Hesaplayıcı
Aşağıdaki iki terimli dağılım hesaplayıcısını kullanabilirsiniz.
| n | |
| p | |
| x | |
| Binom Dağılım Formülü = | |
| Binom Dağılım Formülü = | n C x * p x * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1-0) 0-0 = | 0 |
Alaka ve Kullanım
- Sadece iki sonuç var
- Her sonucun olasılığı, denemeden denemeye sabit kalır
- Sabit sayıda deneme var
- Her deneme bağımsızdır, yani diğerlerini karşılıklı olarak dışlar
- Bize, verilen bu denemelerin her birinin aynı başarı olasılığına sahip olduğu belirli sayıda denemede olası başarılı sonuç sayısının sıklık dağılımını sağlar.
- İki terimli bir deneydeki her deneme, yalnızca iki olası sonuçla sonuçlanabilir. Bu nedenle, adı 'iki terimli'dir. Bu sonuçlardan biri başarı, diğeri başarısızlık olarak bilinir. Örneğin, hasta olan kişiler tedaviye yanıt verebilir veya vermeyebilir.
- Benzer şekilde, bir yazı tura attığımızda, sadece iki tür sonuç elde edebiliriz: yazı veya yazı. Binom dağılımı, istatistikte kullanılan, sürekli bir dağılımdan farklı olan ayrık bir dağılımdır.
Binom deneyine bir örnek, örneğin üç kez bir bozuk para atmaktır. Yazı tura attığımızda, sadece iki sonuç mümkündür - yazı ve yazı. Her sonucun olasılığı 0,5'tir. Yazı tura üç kez atıldığından, deneme sayısı sabittir, yani 3'tür. Her bir atış olasılığı diğer atışlardan etkilenmez.
Binom dağılımı, uygulamalarını sosyal bilim istatistiklerinde bulur. İki sonucun olduğu ikili sonuç değişkenleri için model geliştirmek için kullanılır. Bunun bir örneği Cumhuriyetçilerin mi yoksa Demokratların mı seçimi kazanacağıdır.
Excel'de Binom Dağılım Formülü (excel şablonu ile)
Saurabh okuldaki iki terimli dağılım denklemini öğrendi. Kavramı kız kardeşi ile tartışmak ve onunla bahis oynamak istiyor. Tarafsız bir bozuk parayı on kez atacağını düşündü. 10 atışta tam olarak beş yazı almak için 100 $ bahis yapmak istiyor. Bu bahis için, 10 atışta tam olarak beş yazı alma olasılığını hesaplamak istiyor.
Çözüm: Önce n, p ve x'in ne olduğunu bulmalıyız.
İki terimli dağılım için dahili bir formül var Excel,
BİNOM.DAĞ (başarı sayısı, deneme sayısı, başarı olasılığı, YANLIŞ).
Bu iki terimli dağılım örneği için şöyle olacaktır:
= BİNOM.DAĞ (B2, B3, B4, YANLIŞ) burada B2 hücresi başarı sayısını, B3 hücresi deneme sayısını ve B4 hücresi başarı olasılığını temsil eder.
Bu nedenle, Binom Dağılımının hesaplanması
P (x = 5) = 0,24609375
10 atışta tam 5 yazı alma olasılığı 0.24609375
Not: Yukarıdaki formülde YANLIŞ, olasılık kütle fonksiyonunu belirtir. N bağımsız denemeden tam olarak n başarı olma olasılığını hesaplar. DOĞRU, Kümülatif Dağıtım Fonksiyonunu belirtir. N bağımsız denemeden en fazla x başarı olma olasılığını hesaplar.
